【期望与方差公式】在概率论和统计学中，期望和方差是描述随机变量核心特征的两个重要数值指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对常见分布的期望与方差公式的总结。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。数学上，对于离散型随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的差异程度，计算公式如下：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
方差越大，表示数据越分散；方差越小，表示数据越集中。
三、常见分布的期望与方差公式
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望和方差是分析随机现象的重要工具，它们可以帮助我们理解数据的中心位置和波动情况。不同分布具有不同的期望和方差形式，掌握这些公式有助于在实际问题中进行建模和预测。
通过合理应用这些公式，我们可以更准确地评估风险、做出决策，并提升数据分析的准确性。