如果两个可导函数相除，除法导数公式通常就是“商法则”：设上面函数为 f(x)，下面函数为 g(x)，且 f(x) 与 g(x) 都可导、下面函数 g(x) 保持有效值，那么 [f(x)/g(x)] 的导数等于 (f (x)g(x) - f(x)g (x)) 除以 [g(x)]^2。你可以把它记成“上导乘下，下导乘上，相减，再除以下面函数的平方”。这个公式适合求分式函数导数，也常用于有理函数、复合分式、化简后求导、导数综合题等场景。
核心公式
| 公式名称 | 数学表达 | 直白解释 |
|---|---|---|
| 除法导数公式 | ([f(x)/g(x)] = frac{f (x)g(x) - f(x)g (x)}{[g(x)]^2}) | 先分别求上面函数和下面函数的导数，再按固定顺序组合。 |
| 商法则 | ((u/v) = (u v - uv )/v^2) | 用 u 表示分子函数，用 v 表示分母函数，记忆更方便。 |
| 倒数形式 | ((1/v) = -v /v^2) | 当上面函数是 1 时，除法导数公式会简化成倒数求导形式。 |
适用条件
- 上面函数 f(x) 需要可导。
- 下面函数 g(x) 需要可导。
- 所求点处下面函数 g(x) 保持有效值，使分式有意义。
- 如果分式可以先化简，建议先化简，再求导，过程会更清楚。
- 如果分母是常数，比如 f(x)/5，可以直接把常数提到外面，用 f (x)/5 计算。
计算方法
| 操作顺序 | 做法 | 公式中的对应部分 |
|---|---|---|
| 第一步 | 看清分子函数 | f(x) |
| 第二步 | 看清分母函数 | g(x) |
| 第三步 | 求分子函数的导数 | f (x) |
| 第四步 | 求分母函数的导数 | g (x) |
| 第五步 | 计算 f (x)g(x) | 上导乘下 |
| 第六步 | 计算 f(x)g (x) | 下导乘上 |
| 第七步 | 两相减 | 相减 |
| 第八步 | 分母整体平方 | 再除以下平方 |
标准写法
你可以按照下面这个句式书写：
已知 (y = f(x)/g(x))，且 (f(x))、(g(x)) 都可导，那么
[
y = frac{f (x)g(x) - f(x)g (x)}{[g(x)]^2}
]
如果是具体函数，比如 (y = u(x)/v(x))，就写成：
[
y = frac{u (x)v(x) - u(x)v (x)}{[v(x)]^2}
]
常用记忆口诀
- 上导乘下：先算分子函数的导数乘分母函数。
- 下导乘上：再算分母函数的导数乘分子函数。
- 中间相减：前一项减后一项。
- 下面平方：分母整体平方做除数。
可以记成：
上导乘下，下导乘上，相减，再除以下平方。
示例讲解
| 函数 | 拆分 | 求导过程 | 结果 |
|---|---|---|---|
| (y = x^2 / x^3) | (f(x)=x^2)，(g(x)=x^3) | (f (x)=2x)，(g (x)=3x^2) | (y = frac{2x cdot x^3 - x^2 cdot 3x^2}{x^6} = frac{2x^4 - 3x^4}{x^6} = -x^{-2}) |
| (y = sin x / e^x) | (f(x)=sin x)，(g(x)=e^x) | (f (x)=cos x)，(g (x)=e^x) | (y = frac{cos x cdot e^x - sin x cdot e^x}{e^{2x}}) |
| (y = (2x+1)/(3x-2)) | (f(x)=2x+1)，(g(x)=3x-2) | (f (x)=2)，(g (x)=3) | (y = frac{2(3x-2) - (2x+1)3}{(3x-2)^2} = frac{-7}{(3x-2)^2}) |
和乘积法则的关系
除法导数公式可以看成乘积法则的延伸。因为
[
f(x)/g(x) = f(x) cdot frac{1}{g(x)}
]
先把分式看成“乘一个倒数函数”，再对倒数函数求导，就能得到相同的结构。最终整理后，就形成常用的商法则表达：
[
(f/g) = frac{f g - fg }{g^2}
]
实用建议
- 遇到分式函数时，先判断能否化简，能化简就优先化简。
- 分子分母都是多项式时，直接套公式，计算过程会很顺。
- 分子或分母含三角函数、指数函数、对数函数时，先单独求导，再合并。
- 最终答案一般整理成一个分式，这样更清楚，也便于后续分析。
【常见问题】
问题1：除法导数公式是什么？
回答1：除法导数公式就是商法则，表达为 ([f(x)/g(x)] = frac{f (x)g(x) - f(x)g (x)}{[g(x)]^2})。学习除法导数公式时，可以按“上导乘下，下导乘上，相减，再除以下平方”来记忆，除法导数公式适合处理分式函数求导。
问题2：除法导数公式什么时候使用？
回答2：除法导数公式常用于分子和分母都可导的分式函数求导。只要题目里出现“函数除以函数”，并且希望直接得到导数结果，就适合使用除法导数公式。遇到复杂函数时，先把除法导数公式和乘积法则、链式法则搭配使用，思路会更清楚。
问题3：除法导数公式和乘法导数公式有什么关系？
回答3：除法导数公式可以看作乘法导数公式和倒数求导结合后的结果。把 (f(x)/g(x)) 写成 (f(x) cdot 1/g(x))，先按乘积思路处理，再整理成统一分式，就得到除法导数公式。因此，除法导数公式是导数计算中处理商式函数的标准工具。
问题4：常数除法可以使用除法导数公式吗？
回答4：可以使用，但通常有更简单的处理方法。比如 (f(x)/c)，其中 c 是常数，可以直接写成 ((1/c)f(x))，再求导得到 (f (x)/c)。如果套用除法导数公式，结果也相同，只是过程会更完整。
问题5：除法导数公式的常见题型有哪些？
回答5：除法导数公式常见于有理函数求导、三角函数分式求导、指数函数分式求导、对数函数分式求导、切线斜率计算、单调性分析等题型。掌握除法导数公式后，面对分式结构函数就能更快列出导数表达式。
免责声明：以上内容为数学知识整理，适合学习、复习和作业练习参考，具体书写格式以课程要求为准。